(\(M\) là giao của phân giác \(\widehat{BAC}\) và \(OC\) phải không bạn? À chắc chắn là vậy rồi.)

Câu a: Chính là hệ thức lượng trong tam giác vuông \(BPA\) đường cao \(BQ\).

Câu b: CM được tam giác \(AOC\) đều (3 cạnh bằng nhau) nên phân giác \(AM\) cũng là đường cao.

Vậy \(PM⊥MO\) mà lại có \(PB⊥BO\) nên \(B,P,M,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(PO\).

Câu c: \(\frac{PB}{KB}=\frac{PB}{AB}.\frac{AB}{KB}=\tan\widehat{PAB}.\cot\widehat{KAB}=\frac{1}{3}\) và ta có đpcm.

a: Sửa đề: OE\(\perp\)AN

Xét tứ giác OBME có \(\widehat{OBM}+\widehat{OEM}=90^0+90^0=180^0\)

=>OBME là tứ giác nội tiếp

=>O,B,M,E cùng thuộc một đường tròn

b: Ta có: ΔOAN cân tại O

mà OE là đường cao

nên OE là phân giác của góc AON

=>OK là phân giác của góc AON

Xét ΔONK và ΔOAK có

ON=OA

\(\widehat{NOK}=\widehat{AOK}\)

OK chung

Do đó: ΔONK=ΔOAK

=>\(\widehat{OAK}=\widehat{ONK}\)

mà \(\widehat{ONK}=90^0\)

nên \(\widehat{OAK}=90^0\)

=>KA là tiếp tuyến của (O)

a) Góc EBH = góc HBA ( góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) 

BH vuông góc EA ( góc AHB =90 nội tiếp chắn nửa đường tròn ) 

=> Có đpcm 

b) KH.KB= KE ^2 ( dùng htl tỏng tam giác BAK )

b) Dễ thấy C là trực tâm của tam giác IAB nên C, I, H thẳng hàng.

Do tứ giác AICK là hình thang nội tiếp được đường tròn nên là hình thang cân.

Khi đó \(\widehat{IAK}=\widehat{CKA}\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{NBA}\)

Suy ra tam giác NAB vuông cân tại N nên \(\widehat{NBA}=45^o\).

Ta có các tứ giác CMIN, AMIH nội tiếp được nên \(\widehat{NMH}=\widehat{NMI}+\widehat{HMI}=\widehat{ICN}+\widehat{IAB}=45^o+45^o=90^o\Rightarrow MN\perp MH\).

c) Đề phải là \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}\ge6\).

Đặt \(x=\dfrac{IH}{CH};y=\dfrac{IN}{AN};z=\dfrac{IM}{BM}\left(x,y,z< 1\right)\).

Ta có \(x+y+z=\dfrac{S_{IAB}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{IBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{ICA}}{S_{ABC}}=1\).

Lại có \(\dfrac{IH}{CH}=x\Rightarrow\dfrac{CH}{IH}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow\dfrac{IC}{IH}=\dfrac{1}{x}-1\).

Tương tự \(\dfrac{IA}{IN}=\dfrac{1}{y}-1;\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{z}-1\).

Do đó \(\dfrac{IC}{IH}+\dfrac{IA}{IN}+\dfrac{IB}{IM}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-3\ge_{Svacxo}\dfrac{9}{x+y+z}-3=\dfrac{9}{1}-3=6\).

Vậy ta có đpcm.

ban tu ve hinh nhe

Ta co goc AEBnam ngoai dt nen goc AEB = 1/2(CUNG AB-cungHM)=1/2(cungHM+ cung MB)

ma goc Achan cung HB nen AEB=A nen tam giac AEB can o B

ban se de cm duoc AEBK thuoc 1dt nenKEB=90 nen KE^2=KH.KB

xet tam giac AEB co EI la duong cao con lai  nenEIM dong dang EAB nenEIM=EBA

ma EBA=MBN nen EIM=MBN

ma EIM VA MBNcung nhin EN nenIENB thuoc 1duong tron

Xét ΔABC có AB là đườn kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

=> ΔABC vuông tại C hay AP ⊥ BC

CMTT => AN ⊥ BP

Xét tứ giác PCMN có: \(\widehat{PCM}+\widehat{PNM}=90^o+90^o=180^o\)

=> PCMN là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có 

ΔACB nội tiếp đường tròn(A,C,B\(\in\)(O))

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C(Định lí)

\(\Leftrightarrow BC\perp AC\)

\(\Leftrightarrow BC\perp AP\)

\(\Leftrightarrow\widehat{PCB}=90^0\)

hay \(\widehat{PCM}=90^0\)

Xét (O) có 

ΔANB nội tiếp đường tròn(A,N,B\(\in\)(O))

AB là đường kính

Do đó: ΔANB vuông tại C(Định lí)

\(\Leftrightarrow AN\perp NB\)

\(\Leftrightarrow AN\perp PB\)

\(\Leftrightarrow\widehat{ANP}=90^0\)

hay \(\widehat{PNM}=90^0\)

Xét tứ giác PCMN có 

\(\widehat{PCM}\) và \(\widehat{PNM}\) là hai góc đối

\(\widehat{PCM}+\widehat{PNM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: PCMN là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)